基于BP神经网络与GRNN对比的货运量预测案例分析

一、引言

在货运量预测领域，选择合适的预测模型至关重要。广义回归神经网络（GRNN）已经在前面的文章中有所介绍，它在处理非线性问题上有独特优势。而反向传播神经网络（BP神经网络）也是一种广泛应用的经典神经网络模型。本文将结合之前GRNN的货运量预测案例，引入BP神经网络进行对比分析，详细介绍BP神经网络的原理、代码实现，并对两种模型的预测结果进行评估。

二、BP神经网络原理

（一）网络结构

BP神经网络是一种多层前馈神经网络，通常由输入层、隐藏层和输出层组成。输入层接收外界数据，隐藏层对输入数据进行非线性变换，输出层输出最终的预测结果。设输入层有 $m$ 个神经元，隐藏层有 $n$ 个神经元，输出层有 $l$ 个神经元。

（二）前向传播

在BP神经网络中，信息从输入层经过隐藏层传递到输出层，这一过程称为前向传播。对于输入层的第 $i$ 个神经元的输入 $x_i$，隐藏层第 $j$ 个神经元的输入 $ne{t}_j$ 为：
$$ne{t}_j=\sum _{i=1}^m{w}_{ji}{x}_i+b_j$$
其中 $w_{ji}$ 是输入层第 $i$ 个神经元到隐藏层第 $j$ 个神经元的连接权重，$b_j$ 是隐藏层第 $j$ 个神经元的偏置。经过激活函数 $\phi$ 处理后，隐藏层第 $j$ 个神经元的输出 $y_j$ 为：
$$y_j=\phi (ne{t}_j)$$
常见的激活函数有Sigmoid函数 $\phi (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$ 和双曲正切函数 $\tanh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ 等。

对于输出层第 $k$ 个神经元，其输入 $ne{t}_k$ 为：
$$ne{t}_k=\sum _{j=1}^n{v}_{kj}{y}_j+c_k$$
其中 $v_{kj}$ 是隐藏层第 $j$ 个神经元到输出层第 $k$ 个神经元的连接权重，$c_k$ 是输出层第 $k$ 个神经元的偏置。输出层第 $k$ 个神经元的输出 $o_k$ 为：
$$o_k=\psi (ne{t}_k)$$
这里 $\psi$ 是输出层的激活函数，对于回归问题，常使用线性函数 $\psi (x)=x$。

（三）反向传播

BP神经网络通过反向传播算法来调整网络的权重和偏置，以最小化预测输出与实际输出之间的误差。误差函数通常采用均方误差（MSE）：
$$E=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^l(t_k-o_k{)}^2$$
其中 $t_k$ 是输出层第 $k$ 个神经元的实际输出。

根据链式法则，对误差函数 $E$ 关于权重 $v_{kj}$ 求偏导数：
$$\frac{\partial E}{\partial v_{kj}}=(t_k-o_k){\psi }^{\prime }(ne{t}_k)y_j$$
对误差函数 $E$ 关于权重 $w_{ji}$ 求偏导数：
$$\frac{\partial E}{\partial w_{ji}}=\sum _{k=1}^l(t_k-o_k){\psi }^{\prime }(ne{t}_k)v_{kj}{\phi }^{\prime }(ne{t}_j)x_i$$

然后根据梯度下降法更新权重和偏置：
$$v_{kj}(t+1)=v_{kj}(t)-\eta \frac{\partial E}{\partial v_{kj}}$$
$$w_{ji}(t+1)=w_{ji}(t)-\eta \frac{\partial E}{\partial w_{ji}}$$
$$c_k(t+1)=c_k(t)-\eta \frac{\partial E}{\partial c_k}$$
$$b_j(t+1)=b_j(t)-\eta \frac{\partial E}{\partial b_j}$$
其中 $\eta$ 是学习率，控制着权重和偏置更新的步长。

三、案例分析

（一）数据准备

在本案例中，我们使用之前GRNN案例中保存的数据。通过 load best 加载保存的数据，其中包含了经过交叉验证得到的最佳输入 desired_input 和最佳输出 desired_output，以及测试数据 p_test 和 t_test，还有归一化所需的参数 mint 和 maxt。

（二）MATLAB代码实现

clear all
load best
n = 13
p = desired_input
t = desired_output
% 创建BP神经网络
net_bp = newff(minmax(p), [n, 3], {'tansig', 'purelin'}, 'trainlm');
% 设置训练参数
net.trainParam.show = 50;
net.trainParam.epochs = 2000;
net.trainParam.goal = 1e-3;
% 调用TRAINLM算法训练BP网络
net_bp = train(net_bp, p, t);
% 进行预测
bp_prediction_result = sim(net_bp, p_test);
bp_prediction_result = postmnmx(bp_prediction_result, mint, maxt);
bp_error = t_test - bp_prediction_result';
disp(['BP神经网络三项流量预测的误差为', num2str(abs(bp_error))])

代码解释：

1. 网络创建：使用 newff 函数创建BP神经网络，minmax(p) 表示输入数据的范围，[n, 3] 表示隐藏层有 $n$ 个神经元，输出层有 3 个神经元，{'tansig', 'purelin'} 分别表示隐藏层和输出层的激活函数，'trainlm' 表示使用Levenberg - Marquardt算法进行训练。
2. 训练参数设置：net.trainParam.show = 50 表示每 50 个训练周期显示一次训练信息，net.trainParam.epochs = 2000 表示最大训练周期为 2000 次，net.trainParam.goal = 1e-3 表示训练的目标误差为 $1\times 10^{-3}$。
3. 训练网络：使用 train 函数调用 trainlm 算法对BP网络进行训练。
4. 预测与误差计算：使用 sim 函数对测试数据进行预测，然后对预测结果进行反归一化处理，最后计算预测误差并显示。

（三）结果对比

在之前的GRNN案例中，我们得到了GRNN网络的预测误差 grnn_error。将BP神经网络的预测误差 bp_error 与GRNN的预测误差进行对比，可以评估两种模型在货运量预测任务中的性能。如果 bp_error 较小，说明BP神经网络在该任务中表现更好；反之，则说明GRNN更适合该任务。

四、结论

通过本案例的分析，我们可以看到BP神经网络在货运量预测中的应用过程。BP神经网络通过前向传播和反向传播算法不断调整权重和偏置，以实现对非线性关系的拟合。与GRNN相比，两种模型各有优劣。BP神经网络需要更多的训练时间和参数调整，但在合适的参数设置下可以获得较好的预测效果；GRNN则具有训练速度快、对参数不太敏感等优点。在实际应用中，需要根据具体问题和数据特点选择合适的模型。

五、参考文献

[1] Haykin S. Neural Networks and Learning Machines[M]. Pearson Prentice Hall, 2009.
[2] 史忠植. 神经网络[M]. 机械工业出版社, 2016.
[3] Rumelhart D E, Hinton G E, Williams R J. Learning internal representations by error propagation[J]. Parallel Distributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cognition, 1986.