Day43_20250122动态规划part10|300.最长递增子序列|674.最长连续递增序列|718.最长重复子数组

300.最长递增子序列

题目

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

**子序列 **是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的

子序列

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -10<sup>4</sup> <= nums[i] <= 10<sup>4</sup>

思路

• 五部曲

  • 定义，dp[i]，以nums[i]为尾的最长递增子序列的长度。
  • 递归，dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);//dp[i]=1，dp[j]+1，如果满足递增条件，在dp[j]的基础上+1
  • 初始化，dp[0]=1;
  • 遍历顺序，外层遍历尾部i,内层遍历j(子序列)
  • 打印数组，

• 代码

  • class Solution {
        public int lengthOfLIS(int[] nums) {
            if(nums.length<=1) return nums.length;//特殊情况
            int[] dp=new int[nums.length];//初始数组
            int res=1;
            Arrays.fill(dp,1);//每个子序列单独作为长度，全部初始化为1
            for(int i=1;i<dp.length;i++){//外层循环i遍历每个元素，逐步计算以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度
                for(int j=0;j<i;j++){//扩展递增子序列
                    if(nums[i]>nums[j]){//递增
                        dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);//递推公式
                        //dp[j]+1在nums[j]结尾的子序列基础上，加上nums[i]后形成的新子序列长度
                    }
                }
                res=Math.max(res,dp[i]);//以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
            }
            return res; 
        }
    }
    

  总结

• 递推公式比较难想
  

674.最长连续递增序列

题目

【多了个连续】

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 ** 连续递增的子序列** ，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1：

输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。 

示例 2：

输入：nums = [2,2,2,2,2]
输出：1
解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。

提示：

• 1 <= nums.length <= 10<sup>4</sup>
• -10<sup>9</sup> <= nums[i] <= 10<sup>9</sup>

思路

• 五个步骤

• 代码

  class Solution {
      public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
          if(nums.length<=1) return nums.length;//特殊情况
          int[] dp=new int[nums.length];//初始数组
          int res=1;//记录最终长度
          Arrays.fill(dp,1);//每个子序列单独作为长度，全部初始化为1
          for(int i=1;i<dp.length;i++){
             if(nums[i]>nums[i-1]){
                  dp[i]=dp[i-1]+1;
                  //res=Math.max(dp[i],res);
                  res=res>dp[i]?res:dp[i];//用三元运算符更节省内存
             }
          }
          return res;
  
      }
  }
  

总结

• 与非连续子序列的区别在于，if(nums[i]>nums[i-1])，与前一个数做比较。
• 误区，return dp[i]，应该返回遍历i中的最大dp[i]，用三元运算符更节省内存。

718.最长重复子数组

题目

【二维dp数组】

https://programmercarl.com/0718.%E6%9C%80%E9%95%BF%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%AD%90%E6%95%B0%E7%BB%84.html

给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 *两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 * 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。

示例 2：

输入：nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0]
输出：5

提示：

• 1 <= nums1.length, nums2.length <= 1000
• 0 <= nums1[i], nums2[i] <= 100

思路

• 五部曲

  • 定义，dp[i][j]：以下标i-1为结尾的A和以下标j-1为结尾的B的最长重复子数组长度。
  • 递归，当A[i-1]和B[j-1]相等的时候，遍历i和j要从1开始。dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
  • 初始化，为了方便递归公式，dp[i][0]和dp[0][j]初始化为0。
  • 遍历顺序，外层for循环遍历A，内层for循环遍历B 或先B后A。
  • 打印数组。

• 代码

  class Solution {
      public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
          int result=0;
          int[][] dp=new int[nums1.length+1][nums2.length+1];//[0,length]
  
          for(int i=1;i<=nums1.length;i++){//遍历i-1
              for(int j=1;j<=nums2.length;j++){
                  if(nums1[i-1]==nums2[j-1]){//相等
                      dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                      result=Math.max(result,dp[i][j]);
                  }
              }
          }
          return result;   
      }
  }
  

总结

• 关键在于if(nums1[i-1]==nums2[j-1]){//相等
  dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
  result=Math.max(result,dp[i][j]);
  }